悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。
悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。
悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。
产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。
↑你要承认悖论，除此之外，没有别的办法。如果你能“解决”，那就解决了；如果你不能解决，要学会“欣赏”，不过看热闹要离得远点。如果你不会欣赏，你会暴跳如雷。
首先，悖论是这一种现象；与“正常的”经济活动和社会活动，日常生活无关。无数的悖论，存在于你的所见所闻之中，渗透到你的大脑和细胞里。
如果你按照悖论的道理来行事，就会得到悖论的效果；如果你没有按照悖论的道理来行事，就不会得到悖论的效果。
悖论符合悖论的“原则”；正常事物符合“正常”的“道理”。
在经济活动社会活动、日常生活中的“悖论”，直接就是一种“错误”。要付出“代价”。
悖论是一种令人较为“反感”事物；有如“白犀牛”和“黑天鹅”。
有时候，世界会超乎你的认知。本来应该是这样，结果是那样。只是你因为你困在自己的思维模式和思维惯性中了。
有一点要注意的事，就是你发现你可以在这个世界肆意“制造悖论”的时候，其实是非常危险的。因为最容易引发现实中的道德制裁和法律之制裁。这两者是特高压红线，不能碰。必须引起注意。
还有的危险是，进入到“其他人的领域范围”之内，是要顺从别人的意识；不然也会导致关系破裂，甚至危及自身安全。如果你发现你没必要去顺从别人的意识，那么，没必要参与到与其相关的事件和范围当中。或者是将自身之悖论投递到人群之中。
在你的世界里安安心心地呆着就好啦！妥妥的。
在自己的世界里，当然就没有悖论。
“外面的世界”之混乱，就是因为对于主体来说，客体全是由悖论构成；由不可知，导致的疏远和冷漠是必然的。
而悖论，其本身不构成任何威胁，威胁来自主体自身对悖论的理解和接纳承受程度。悖论是其悖论本身。
产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。
观察和判断事物的时候，未有全貌，未能定言。有了全貌，定了便定。
悖论是纯思维和感官上的，在物理上“不能够存在”。当然就是因为它“不能够存在”
生活中的悖论其实是一种“美丽”。
悖论，仅仅限于学术研究和艺术创作的范围。可以创造出光怪陆离迷幻之象。剩下的层面，不能够有。会引起麻烦。
——如何在生活和工作中避免“悖论”？
那便是“同情”即可；否则就是“反人类”；用大悲咒。
但这并不影响你的智商。
▲原理
同时假定两个或更多不能同时成立的前提，是一切悖论问题的共同特征。
一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映；进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而只能说它们是“歪曲了的真理”。
因此，悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。具体地说，作为客观世界的一个部分或侧面，认识或理论(数学理论、语义学理论)的研究对象在本质上往往是辩证的，也就是诸对立环节的统一体；然而，由于主观思维方法上的形而上学或形式逻辑化的方法的限制，客观对象的这种辩证性在认识过程中常常遭到了歪曲：对立统一的环节被绝对地割裂开来，并被片面地夸大，以致达到了绝对、僵化的程度，从而辩证的统一就变成了绝对的对立；而如果再把它们机械地重新联结起来，对立环节的直接冲突就是不可避免的了，而这就是悖论。
▲悖论的形式
悖论有三种主要形式。
1.一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2.一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3.一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
▲悖论的类型
·悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。但是，罗素悖论并不是头一个悖论。老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。这些悖论使人联想到古代的说谎者悖论。即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。
布拉里·福蒂悖论是由布拉里·福蒂年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。这是布拉里·福蒂年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。这
是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。不久之后，罗素在年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。
▲悖论与解悖
只要运用对称逻辑，没有一个悖论无解。
比如，用对称逻辑思维层次法解“说谎者悖论”这个悖论即说话者说“我在说谎”这句话中所蕴含的悖论。这个悖论表面上由“我在说谎”和“我说实话”这两个对立的“命题”组成，实际上这两个“命题”并不等价——前一个命题包含思维内容，后一个“命题”只是前一个命题的语言表达式，因此后一个“命题”不是严格意义上的命题。长期以来人们之所以把其看成悖论，是由于把两个“命题”看成等价，即都是思维内容和语言表达式统一的命题。
只要把思维的两大层次：命题的思维内容和命题的语言表达式区别开来，“我在说谎”这个悖论即可化解。
▲著名悖论
▲▲自指类悖论
以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题：如果从肯定命题入手，就会得到它的否定命题；如果从否定命题入手，就会得到它的肯定命题。由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论。
自指类悖论例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。针对这种恶性循环，罗素提出了一种解决办法，并称之为恶性循环原则（Vicious-CirclePrinciple）。
表述如下：“无论是什么，如果涉及了某集合的全部内容，一定不得属于该集合。(Whateverinvolvesallofacollectionmustnotbeoneofthecollection.)”
自指类悖论进一步的解决方法可参见《斯坦福哲学百科全书》自指相关（Self-Reference）条目的第三章。
恶性循环原则(viciouscircleprinciple)是分支类型论的思想原则之一，指英国数理逻辑学家罗素(Russell,B.A.W.)借以排除悖论而建立分支类型论所依据的一条原则，即没有一个整体能包含一个只能借助于这个整体来定义的元素。
罗素使用恶性循环原则的主要动机是针对逻辑悖论和语义悖论。
·谎言者悖论
谎言者悖论，又称为说谎者悖论。公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。
《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
·我在说谎
如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。
它的一个翻版：
·这句话是错的
这句话是错的如果是事实，那么这句话就是对的，但是它是对的，就与所说的这句话是错的事实（开始设定的）不符。这句话是错的如果是假的，那么这句话就是对的，但这句话如果是对的，那么假设的这句话是错的假的结论就被推翻，也矛盾了。这类悖论的一个标准形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。
·解悖研究
哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”（同上）
罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“年和年这一整个时期，我差不多完全是致力于这一件事，但是毫不成功。”（同上）
《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。
接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖论是克利特以外的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。
·理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
·罗素悖论
命题“R是所有不包含自身的集合的集合”被称为集合论悖论，这个悖论是罗素在年提出来的，所以又叫罗素悖论。
人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。如果R包含自身的话，R又不属于R。
继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，年歌德尔（KurtGodel，—，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了19世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
·书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出且只列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？
这个悖论与理发师悖论基本一致。
·苏格拉底悖论
有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前—前）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。
苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。近似的言论还有“今晚，我对你们的表现很满意。”看起来没什么的一句话，但仔细一琢磨，你就会发现。这样你就根本不知道他到底对你是满意，还是不满意。如果是满意，自己好像也没有做什么；如果是不满意，那自己什么也没做，居然会有人不满意。想来想去每个结果，还挺可恶的。特别没意思的一句话。
·言尽悖
”言尽悖“是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗。
·世界上没有绝对的真理
我们常说：世界上没有绝对的真理。我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
·柏拉图——苏格拉底悖论
柏拉图（Platon，Πλτων，约前年—前年），古希腊伟大的哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。
柏拉图说：“苏格拉底的下句话是错误的”。
苏格拉底说：“柏拉图说得对。”
不论你假定哪个句子是真的，另一个句子都会与之矛盾。两个句子都不是自我诠释，但作为一个整体，同样构成了说谎者悖论。
▲▲荒谬的真实
有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
·柯里悖论
对于这样一个条件语句C：“若C，则F”，只需要一些显然无害的逻辑推导规则，就可以推导出：仅从句子C的存在就证明了任意主张F。由于F是任意的，因此遵循这些逻辑规则的任何逻辑系统都可以证明所有命题，这就引起矛盾，违反了经典逻辑的无矛盾律；因此，这是一个悖论。柯里悖论（Currysparadox）由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·布鲁克·柯里在年提出，并且以其命名。柯里悖论可以像罗素悖论一样，以逻辑悖论的形式出现，但它也可以是类似于说谎者悖论的语义悖论的形式出现。
▲▲模糊类悖论
模糊类悖论的呈现依赖于用含混的概念进行推理，所得到的的结论也是含混的，可以归类于为推理谬误，并不是真正的悖论，是属于谬误悖论（falsidicalparadox）。
▲▲连锁悖论
连锁悖论（soritesparadox）是古希腊麦加拉学派欧布里德和阿莱克西努提出的一系列疑难中的一种。指一个微小量的连续相加或相减，最后达到一个不同质的事物。这是由逻辑演绎与事实演变的差别而产生的形式思维矛盾。著名的例子有谷堆论证（也称：谷堆悖论）和秃头论证（也称：秃头悖论）。
谷堆论证：如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。
由于多少粒谷子可被认为是谷堆是含混的概念，并没有一个绝对的标准。连锁悖论的存在主要依赖于一些含混的概念。概念的含混性为连锁悖论的出现创造了条件，引起推理谬误，是属于谬误悖论（falsidicalparadox）。
▲▲忒修斯之船悖论
公元1世纪的时候普鲁塔克提出一个问题：如果忒修斯的船上的木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，那这艘船还是原来的那艘船吗？因此这类问题现在被称作“忒修斯之船”的问题。是一种有关身份更替的悖论。
忒修斯之船（TheShipofTheseus）是最为古老的思想实验之一。最早出自普鲁塔克的记载。它描述的是一艘可以在海上航行几百年的船，归功于不间断的维修和替换部件。只要一块木板腐烂了，它就会被替换掉，以此类推，直到所有的功能部件都不是最开始的那些了。问题是，最终产生的这艘船是否还是原来的那艘特修斯之船，还是一艘完全不同的船？如果不是原来的船，那么在什么时候它不再是原来的船了？
哲学家托马斯·霍布斯后来对此进行了延伸，如果用特修斯之船上取下来的老部件来重新建造一艘新的船，那么两艘船中哪艘才是真正的特修斯之船？
有些哲学家认为是同一物体，有些哲学家认为不是。在普鲁塔克之前，赫拉克利特、苏格拉底、柏拉图都曾经讨论过相似的问题。近代霍布斯和洛克也讨论过该问题。这个问题的有许多变种，如“祖父的旧斧头”。
——忒修斯之船不断更换部件，最后所有的部件都换了一遍。在整个过程中，它显然具有时空连续性，就好像你的身体不断进行新陈代谢，但丝毫不影响其时空连续性；更换的船板和以前的船板有点区别，但差别不大，功能完全一样，和整个船的复杂性比起来，这点差别可以忽略不计，整个船的结构基本没有改变，即使有一些改变，也像你比几年前变老了一点一样，这点差别完全不影响同一性。你还是“你”。因此忒修斯之船还是忒修斯之船，你就是把船板更换一千遍，它还是它自己——这根本不影响同一性。
你用换下来的船板和部件再组装一艘船，结构一样不一样我不管，它和忒修斯之船没有时空连续，因而那是另外一艘船。你叫它什么都行，它不是忒修斯之船。
这个道理就和一支足球队，不断有人加入又不断有人退出，可它还是叫着原来的名字是相同的。
·与之类似的悖论：
··赫拉克利特之河
人们虽然同样渡过相同的河，但流经身旁的水却是不同的。
普鲁塔克亦引用赫拉克利特的观点，提出无法再次渡过相同的河流的假说。
··祖父的旧斧头
英文的口语，指某物每次都残留了本来的一部分；但更换了另一部分，逐渐所有的部分都换过的意思。
斧头的刀刃换了3次，刀柄也换了4次，可是还是同一把旧斧头。
▲▲无限类悖论
下面无限类悖论可区分为两种类别：
·谬误悖论（falsidicalparadox），是由于有谬误的推理过程产生的，归类于谬误。这个类别包括下面的阿基里斯悖论，二分法悖论，飞矢不动悖论。如果，推理过程采用微积分来处理“无限”，则不会推导出矛盾的悖论结果。
·真实性悖论（veridicalparadox）：其产生的结果看起来很荒谬，其推理过程和其结果都没有问题，是无矛盾的命题。这个类别包括下面的，”点一样多“，和希尔伯特旅馆悖论。
·阿基里斯悖论
稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（ZenoofElea），曾经提出过一些著名的悖论，对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。
阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
逻辑之“美”，是个陷阱；逻辑上的“正确”，而实际上不会发生，因为有“现实”在；逻辑上的混乱，是他妈“孔乙己”的乐趣。实际上的超越，是实际的行为结果——小乌龟，赛跑怎么会能跑得过巨人……
而目前，社会上充斥着无数“学术流氓”，像“足球流氓”一样，去参加球赛不是为了看球赛、观赏比赛，而是为了寻衅滋事；学术流氓亦同，做学术不是好好做学术，是为了寻衅滋事！总之寻衅滋事，就是其所能尽的最大之能。
寻衅滋事，的确能获得某种快感。暴力和摧毁的狂热信徒——来自于“自由意识”和民主；完全的民主，就会带来——暴力。这是民主和自由带来的极端恶果，原因多个方面。对个体来说，是自身的自由之欲望喷发到一定程度，造成的恶果，太过自由。先暂述自此。
方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2。当时间T=S/（V1－V2）时，阿基里斯就赶上了乌龟。
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T。对于任何T，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T无法度量T=S/（V1－V2）以后的时间。
·二分法悖论
二分法悖论是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了D。
这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。
芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟，那么，“这是一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的，没有逻辑可靠。
他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运动佯谬：
·飞矢不动
飞矢不动是芝诺提出的一个悖论。在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是运动？中国古代也有类似的说法，如：
这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。
战国名家宋国人惠施（约公元前—前）曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。
惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等，都可以说是悖论，但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。
毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。年8月18日，他同哲学工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分，电子也可分。”又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，万世不竭’，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭就没有科学了。”
有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如50年代中期对核物理学家钱三强，年8月同周培源、于光远，年、年接见杨振宁、李*道，等等，都提到这句话。
·点一样多
点一样多悖论：“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多。”
多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。23岁获博士学位的德国数学家康托尔（—）六年以后向无穷宣战。他成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。
然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到年第一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
在康托尔的理论被认可的基础上，“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”的命题不再是悖论，而是一个无矛盾的命题，也被称为真实性悖论（veridicalparadox）。
·希尔伯特旅馆悖论
希尔伯特旅馆悖论。这实际是一个无矛盾的命题，是一个与无限集合有关的数学悖论，由德国数学家大卫·希尔伯特提出。也被称为真实性悖论（veridicalparadox）。
假设有一个拥有可数无限多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。或许有人会认为此时这一旅馆将无法再接纳新的客人（如同有限个房间的情况），但事实上并非如此。
有限个新客人
设想此时有一个客人想要入住该旅馆。由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到3号房间，以此类推，这样就空出了1号房间留给新的客人。重复这一过程，我们就能够使任意有限个客人入住到旅馆内。
无限个新客人
另外，我们还能使可数无限个新客人住到旅馆中：将1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到4号房间、n号房间原有的客人安置到2n号房间，这样所有的奇数房间就都能够空出来以容纳新的客人。
无限个客车且每个客车有无限客人
我们甚至能够将可数无限个客车上的人（其中每个客车上有可数无限个客人）安排进旅馆。不过，这需要有一个前提条件：所有客车上的每个座位都已经编好了次序（即旅馆管理员对客人的安排满足选择公理）。首先，如同前面一样将所有奇数房间都清空，再将第一辆客车上的客人安排在第3*2^n号房间（n=1,2,3,...）、第二辆客车上的客人安排在第5*2^n号房间（n=1,2,3,...），以此类推，将第i辆客车上的客人安排在第p*2^n号房间（其中，p是第i+1个质数）。
另外，还能够通过客车的车牌号与客人的座位号来解决这一问题。先将旅馆设为第0号客车，然后将车牌号与座位号交替书写，即能得到客人的房间号码。如果客人是在号房间则移动到号房间，如果客人是在号客车上的座则移到第号房间。
·分析
这一问题虽然被称作“悖论”，但事实上它并不矛盾，而仅仅是与我们直觉相悖而已。在有无限个房间时，“每个房间都客满”与“无法入住新的客人”两者其实并不等价。
无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其奇数号房间的数量显然总是小于其房间总数的。然而，在希尔伯特所假想的这一旅馆中，奇数号房间数与总房间数是相同的。在数学上可以表述为包含所有房间的集合的势与包含所有奇数号房间的子集的势相同。事实上，无限集合都拥有这样的特点，所有无限集合都与它的某些子集的势相同。对于可数集，其势记为（阿列夫零）。
另外，我们还可以说，对于任意可数无限集，都存在由这一集合至自然数集的双射，即便这一集合（如有理数集）本身就包含了自然数集。
·宇宙哲学争论
由于希尔伯特的这一悖论违反了我们的直觉，因而经常被用于反对实无穷的存在，如美国哲学家威廉·莱恩·柯莱格（WilliamLaneCraig）就曾这样来证明上帝的存在：尽管在数学上这种旅馆（或任何无限的事物）并非是不可能的，但从直觉上这样的事物永远不可能存在，不仅如此，任何实无穷都不可能存在。如果一个时间序列能够无限地回退到过去那就会建立起一个实无穷，既然实无穷不存在，那时间就必然有个“起点”。每个事物都有其发生的原因，而时间起始的原因不可能是其他事物，只能是上帝。
Fine.
悖论，在生意人眼里是没有的；只有在数学家和讲求逻辑的人的面前才会引发混乱。
比如：卖茅的人同时卖盾。为什么不可以？世界上最好的茅，和世界上最好的盾，都是他来卖。只要他掌握了技术和资源。
如果有人要问，哎呀呀，你这最利的茅刺向最利的盾？会发生什么？
此人就很讨厌。
哑口无言，就对了。
商家担心的不是逻辑问题，而是，自身安全。
因为你是商家，固定开店的。不能得罪此人。
当然也不讨厌，你就跟他说，你买一对回去试一下不就知道啦？
感官上符合“逻辑”的事物，的确很受欢迎。不符合逻辑的事物，在商业上是能成功的。
比如说，这不科学。但是很商业。商业是什么东西，是一种味道吗？
“求知得知”，“求财得财”？是什么知识，是什么财？有求必应，“据说”是佛对你的“许诺”，但也是你的幻境之旅的开始。
当然，你要是没有最好的茅和最好的盾，牛皮吹破了，倒是街坊邻居笑话。还可以去说相声。
——但，没有那么温情。你心中有恨。
我想我下一步要接触矛盾文学，感受一下这“矛盾”的力量。
看其中有什么化解矛盾之能。
从一本不知名字的多字故事书，到未看完的哪吒闹海，到看不完的日本漫画，再到教科书，然后到萌芽，新概念，再到自由学者之言，再到奸的好人和儒释道，再到矛盾。
便是会一会这矛盾。拜读。
悖论肯定是会存在的，一定会出现的。
而对于实际生活中，如果你不做理论研究的话，不必在乎。
无非就是翻滚在你脑海中的那几句话；在你脑海中不断回映的那几个事件。
——这可是他们给你刷存在的好方法。不排除有人对你使用了“技巧”。
遇见你想不通的事情，那么你就是遇见悖论了。可能你不够理性（没见过什么世面），或者是在认知上有层次上的偏差，导致你无法解悖。
你对世界，对社会，对人，认知得太少；对很多现象和问题都先入为主，在观察和判断的时候注入了过多的“直觉”，无法了解事物的整个“全貌”。
而人心要深起来，深似海，犹如马里亚纳海沟/百慕大三角。那不是靠游泳就能度过的地方，只是看老天收不收你。
你若是对深海还拿不准主意，是要在浅水滩上玩水即可。
“疯浪”终究是有的。大大小小的“疯浪”。
不过，经历了深海，回到人间的人。亦能称得上一个英雄，大丈夫。
人生，深似海。
命运小船进到深深的海，就靠天佑之了。
但我亦是个胆小*。镇定，做点什么；害怕是必然的；越是害怕，越过瘾；做事起来越清晰谨慎。甚好甚好。
不要害怕悖论，虽然它会给你带来危机。
在思想上给你造成“危机”。不是你用脑过度，而是你遇见了悖论，遇见了某种危机，世界不是固化的，世界是有规律的。
你就是被悖论终止的一个学术人，悖论就是超级玛丽中的蘑菇和boss。
人生中所有的问题，都是悖论，往事并不如烟，就是要告诉你一点什么。
·用悖，可以使用悖论的特性，终止某一些事物，或者是引起需要引起的人对这个“悖论”事物的了解和关照。比如一个聪明的坏学生，可以利用自己的调皮捣蛋，引起老师和家长对他的关心和关照。比如一哭二闹三上吊，是一种计策。
经典悖论/思想实验十则
思想实验，又名“理想实验”，又叫做“假想实验”、“抽象的实验”或“思想上的实验”，它是人们在思想中塑造的理想过程，是一种逻辑推理的思维过程和理论研究的重要方法。“理想实验”在自然科学的理论研究中有着重要的作用.但是，“理想实验”的方法也有其一定的局限性.“理想实验”只是一种逻辑推理的思维过程，它的作用只限于逻辑上的证明与反驳，而不能用来作为检验认识正确与否的标准.相反，由“理想实验”所得出的任何推论，都必须由观察或实验的结果来检验。
一、电车难题（TheTrolleyProblem）
“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？
▲解读：
电车难题最早是由哲学家PhilippaFoot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。
功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。
从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。
但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。
然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。
总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。
许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。
Das曰：
人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？
承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。
如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、*府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。
他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。
人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。
那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。
今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应当为这种行为负责。
行为并不是行动，你什么也不干也是一种选择，因而也是一种行为。
我们将这个思想实验稍作修改，就可以看到什么也不干确实是一种实实在在的行为：
电车的前方绑着5个人，你拉动一下拉杆就能使将电车驶向岔道——而岔道上什么也没有，不会造成任何危害。这时候你动不动拉杆呢？如果你不拉，你什么也不干，眼睁睁看着五个人被轧死，这显然是不道德行为——你本来有选择的余地，轧死五个人并不是唯一可能的结果，你只要举手之劳就能挽救五个人的生命，但是你选择了什么也不干，你就应当为你的行为负责任，即使法律不去惩罚你，你的行为最起码也是不道德的。
现在我们可以理清这个悖论的条理了：
（一）对于这一事件，你只有两种选择的可能性：动拉杆或者不动拉杆。你必须在这两种行为中选择一个，你能够预料到不同的行为会有不同的后果：
（二）你选择“不动拉杆”这种行为，会造成五个人死亡；你选择“动拉杆”这种行为，会造成一个人死亡。
这个悖论的关键在于人们普遍认为这是在两种不道德的行为中选择其一，因而是个难题——事实上当你必须二者之中选择其一的时候，这两种行为绝对不可能都是不道德的。
只有一种选择的时候，就等于没有选择，没有选择就没有行为，没有行为就没有责任——也就无所谓道德不道德。
有的人，一生都没有做过选择，而且避免自己进入选择的境地。非常的幸福。
在这个悖论中如果没有拉杆，你无法改变电车的方向，你对轧死五个人的结果根本就无能为力，无论你干什么事儿对这一结果都没有影响，这时候无论你干什么，都等于什么也不干——你唯一的选择就是什么也不干，你就等于没有选择、没有行为，因而这这一事件中你也谈不上什么道德不道德。
当你只有两种选择（或者种选择，道理是一样的），你除此之外就没有选择。假如这两种选择都是不道德的，这就等于说无论你怎样选择都是不道德的，就等于说这种不道德竟然不是由于你的自由选择造成的，而是外界强加给你的。这显然是胡说八道。根据我们前面的论证：如果一种行为是不道德的，那必然是由于你自由选择造成的。当你无可选择的时候，那根本就无所谓道德不道德。
这一悖论的答案可以揭晓了：
一、你只有两种选择、两种可能的行为：动拉杆或者不动拉杆，这必然造成两种不同的结果：一个人死亡或者五个人死亡。这两种行为不可能都是不道德的。
二、你拉动拉杆，造成一个人死亡的结果，你不应当为此承担道义上的责任，因为这个人的死亡，不是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡，要么一个、要么五个，至少要死一个人——这是必然的结果，这是你无法阻止的结果。
三、你不拉动拉杆，造成五个人死亡，你应当为此承担道德的谴责。死亡五个人，不是必然的结果，而是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡，要么一个、要么五个，死一个是必然的，死五个不是必然的，现在真的死了五个，那是你的行为造成的。
在这里，我们把六个人的生命当成同等价值的抽象个体，这样做可能会有人提出反对意见：每一个人的生命都是唯一的、无价的、至高无上的，das没有理由为了挽救那五个人的生命牺牲者一个人——das没有剥夺这个人生命的权利，不管出于什么高尚的理由。
但Das这样驳斥这种观点：
你仍然将“不动拉杆”这种行为不当做一种行为看待，这是错误的。在前提条件下，这一个人与另外五个人一样，面临同样的生命威胁。假如das没有权力为了这五个人的生命牺牲这一个人，同样，我也没有权力为了这一个人的生命牺牲那五个人。即使这一个人生命的价值与那五个人是对等的，他们在我选择时考虑的权重也应当相互抵消。既然每个人的生命价值都是至高无上的，那五个人的生命价值即使并不高于这一个人，至少也并不低于这一个人。既然没有办法比较每个人生命价值的大小，那么我就不该这样考虑问题。这时候我将每一个单个的生命当做同等价值的抽象个体，并且认为5大于1，这就是唯一合理的选择。
而，这些人有别的组合方式呢？1个襁褓中的婴儿和5个垂暮之人；1个老干部和5个农民；1个*和5个如花……这样的话，你该如何去选择呢？
空地上的奶牛（TheCowinthefield）
认知论领域的一个最重要的思想实验就是“空地上的奶牛”。它描述的是，一个农民担心自己的获奖的奶牛走丢了。这时送奶工到了农场，他告诉农民不要担心，因为他看到那头奶牛在附件的一块空地上。虽然农民很相信送奶工，但他还是亲自看了看，他看到了熟悉的黑白相间的形状并感到很满意。过了一会，送奶工到那块空地上再次确认。那头奶牛确实在那，但它躲在树林里，而且空地上还有一大张黑白相间的纸缠在树上，很明显，农民把这张纸错当成自己的奶牛了。问题是出现了，虽然奶牛一直都在空地上，但农民说自己知道奶牛在空地上时是否正确？
▲解读：
空地上的奶牛最初是被EdmundGettier用来批判主流上作为知识的定义的JTB（justifiedtruebelief）理论，即当人们相信一件事时，它就成为了知识；这件事在事实上是真的，并且人们有可以验证的理由相信它。在这个实验中，农民相信奶牛在空地上，且被送奶工的证词和他自己对于空地上的黑白相间物的观察所证实。而且经过送奶工后来的证实，这件事也是真实的。尽管如此，农民并没有真正的知道奶牛在哪儿，因为他认为奶牛在那儿的推导是建立在错误的前提上的。Gettier利用这个实验和其他一些例子，解释了将知识定义为JTB的理论需要修正。
Das曰：
这其实就是盖梯尔问题。盖梯尔问题引起了长期大范围的争论，产生了无数个变种。盖梯尔刚刚提出他的问题的时候，大家都认为这确实是一个问题，但是很容易解决——只要对JTB理论进行小的补充完善就会万事大吉。但是随着讨论的深入，所有补充完善JTB理论的企图都被进一步变种的盖梯尔问题击溃，以至于有人怀疑真正完善的JTB理论是不是真的存在。
以下das给出自己的答案。这答案足以迎头痛击一切现有的盖梯尔问题的攻击——我希望，不要被进一步变种的盖梯尔问题击垮。如果本论坛能够提出一个击垮das的盖梯尔式的思想实验的反例，das将无比欣慰。
柏拉图认为知识是得到辩护和证明的真信念。这就是原始的JTB。
Das认为：
（一）知识是真的信念。
（二）这信念具有充分的理性基础。（S具有充分的理性基础是指：当且仅当P是人类公认的公理，Q是内部一致的有效的逻辑系统，以P为前提，通过Q，可以合理导出S。）
（三）知识的主体对其理性基础有充分的了解。
（四）充分的程度与该知识的重要性相当。
三、定时炸弹（TheTickingTimeBomb）
如果你